Question

12．设函数y=f（x），x∈R，f（x）≠0，对任意的实数均有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（-1）=$\frac{1}{f（1）}$；
（3）求证：f（x）＞0对任意x都成立．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0．，即可求f（0）；
（2）令x=1，y=-1，即可证明f（-1）=$\frac{1}{f（1）}$；
（3）结合条件即可证明f（x）＞0对任意x都成立．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）•f（0），
∵f（x）≠0，
∴f（0）=1；
（2）令x=1，y=-1，则f（1-1）=f（1）f（-1）=f（0）=1，
即f（-1）=$\frac{1}{f（1）}$；
（3）f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f（$\frac{x}{2}$）f（$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$），
∵f（x）≠0，
∴f（x）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0对任意x都成立．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．