Question

11．已知函数f（x）是定义域为（0，+∞）上的减函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈（0，+∞）），f（2）=1
（1）求f（1）；
（2）求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过x=y=1以及f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈（0，+∞）），f（2）=1即可求解f（1）的值．
（2）利用已知条件以及函数的单调性推出不等式求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）是定义域为（0，+∞）上的减函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈（0，+∞）），令x=y=1可得：f（2）=2f（1），f（2）=1
∴f（1）=$\frac{1}{2}$．
（2）函数f（x）是定义域为（0，+∞）上的减函数，
f（x）+f（x-3）≤2=f（4）．
可得：$\left\{\begin{array}{l}0＜x\\ 0＜x-3\\ 2x-3≥4\end{array}\right.$，
解得x≥$\frac{7}{2}$．满足
f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围：[$\frac{7}{2}，+∞$）．

点评 本题考查抽象函数应用，函数的定义域以及函数的单调性的应用，考查计算能力．