Question

【题目】对于函数、、，如果存在实数、使得，那么称为、的生成函数.

（1）若，，，则是否分别为、的生成函数？并说明理由；

（2）设，，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）设，取，，生成函数图象的最低点坐标为，若对于任意正实数、且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）是；理由见解析；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）利用两角和的正弦公式将函数的解析式展开，利用题中的定义可判断出是、的生成函数；

（2）先得出函数，根据题意得出在上有解，设，利用参变量分离法得出，可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；

（3）先得出函数，利用题意以及基本不等式得出，，然后利用基本不等式求出在条件下的最小值，即可得出的取值范围，即可求出的最大值.

（1），因此，是分别为、的生成函数；

（2）由题意可得，

由于不等式在上有解，即，

化简得，

令，则有，得，

由题意可得，由于函数在上单调递增，

所以，，.

因此，实数的取值范围是；

（3）由题意可得，

函数图象的最低点坐标为，

由基本不等式得，

当且仅当时，即当时，等号成立，则，解得，

.

.

令，由基本不等式得，

由双勾函数的单调性知，函数在上单调递减，

则，.

因此，存在最大值的常数.