Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

an2an+12

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n²为首项为1，公差为2的等差数列，从而a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，由a_n＞0，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由

1

an2an+12

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{

1

an2an+12

}的前n项和．

解答： 解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2，
∴a_n²为首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，
又a_n＞0，则a_n=

2n-1

．
（2）∵an=

2n-1

，
∴

1

an2an+12

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{

1

an2an+12

}的前n项和：
S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．