Question

设A是单位圆x²+y²=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|，当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（x，y），A（x₀，y₀），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标．

解答： 解：设M（x，y），A（x₀，y₀），
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x₀，|y|=m|y₀|，
∴x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|①；
∵点A在圆上运动，∴x₀²+y₀²=1②．
①代入②即得所求曲线C的方程为x2+

y2

m2

=1(m＞0，m≠1)，
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（-

1-m2

，0），（

1-m2

，0）；
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（0，-

m2-1

），（0，

m2-1

）．

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，计算要小心．