Question

14．已知在椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）之内的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 不妨设a＞b，求出a，b满足的条件，作出图形，根据面积比得出答案．

解答 解：不妨设a＞b，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$＜1，
解得0＜$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$，即0＜$\frac{b}{a}$＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜b＜$\frac{1}{2}$a，
作出图象如下：

∴椭圆的离心率在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）之内的概率为P=$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OAB}}$=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的性质，几何概型的概率计算，属于中档题．