Question

已知函数f（x）=

1

x-1

的定义域为集合A，函数g（x）=（

1

2

）^x（-1≤x≤0）的值域为集合B，U=R．
（1）求（∁_UA）∩B；
（2）若C={x|a≤x≤2a-1}且C⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算,集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）由函数f（x）的解析式求出定义域A，由补集的运算求出∁_UA，再由指数函数的性质求出函数g（x）的值域B，再由交集的运算求出（∁_UA）∩B；
（2）根据子集的定义和条件对集合B分B=∅和B≠∅两种情况，分别列出不等式组求出a的范围．

解答： 解：（1）要是函数f（x）=

1

x-1

有意义，则x-1＞0，得x＞1，
所以函数f（x）的定义域A=（1，+∞），则∁_UA=（-∞，1]，
由-1≤x≤0得，1≤(

1

2

)x≤2，则函数g（x）的值域B=[1，2]，
所以（∁_UA）∩B={1}；…（5分）
（2）因为C={x|a≤x≤2a-1}且C⊆B，
所以对集合B分B=∅和B≠∅两种情况，
则a＞2a-1或

a≤2a-1 2a-1≤2 a≥1

，解得a＜1或1≤a≤

3

2

，
所以实数a的取值范围是（-∞，

3

2

]…（10分）

点评：本题考查补、交、并的混合运算，由集合之间的关系求出参数的范围，及指数函数的性质，属于基础题．