Question

17．已知函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{2}}）cos（{x-\frac{π}{3}}）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）将函数y=f（x）的图象向下平移$\frac{1}{4}$个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在$[{0，\frac{π}{3}}]$上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得函数y=g（x）在$[{0，\frac{π}{3}}]$上的最大值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{2}}）cos（{x-\frac{π}{3}}）$=cosx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）将函数y=f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$的图象向下平移$\frac{1}{4}$个单位，可得y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．
再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．
在$[{0，\frac{π}{3}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最大值为2．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．