Question

已知f（x）是定义在R上的函数且满足f（x）＞-xf′（x），则关于x的不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）的解集为（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-1，1）
• C、（-∞，0）
• D、（0，1）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由题意可得 （ x•f（x））′＞0，故函数y=x•f（x）在R上是增函数，当x-1＞0，即x＞1时，
不等式即（x-1）f（x-1）＞（x-1）（x+1）f（x²-1），故有x-1＞x²-1，当x-1＜0，即x＜1时，
不等式即（x-1）f（x-1）＜（x-1）（x+1）f（x²-1），故有x-1＜x²-1，由此求得解集．

解答： 解：∵f（x）＞-xf′（x），
∴（ x•f（x））′＞0，故函数y=x•f（x）在R上是增函数．
当x-1＞0，即x＞1时，
由不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）得：
（x-1）f（x-1）＞（x-1）（x+1）f（x²-1），
即（x-1）f（x-1）＞（x²-1）f（x²-1），
∴x-1＞x²-1，解得 0＜x＜1，
此时原不等式无解；
当x-1＜0，即x＜1时，
由不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）得：
（x-1）f（x-1）＜（x-1）（x+1）f（x²-1），
即（x-1）f（x-1）＜（x²-1）f（x²-1），
∴x-1＜x²-1，解得 x＜0，或x＞1，
故 x＜0
则不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）的解集为{x|x＜0}，
故选：C．

点评：本题以积的导数为载体，考查函数的单调性，关键是条件的等价转化，属于基础题．