Question

12．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M、N分别为线段BC、CD上的点，且满足$\frac{1}{C{M}^{2}}$$+\frac{1}{C{N}^{2}}$=1，若$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AM}$+y$\overrightarrow{AN}$，则x+y的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由题意建立如图所示坐标系，设点M（3，a），N（b，4），0＜a＜4，0＜b＜3；从而可得b=$\frac{3-3x}{y}$，a=$\frac{4-4y}{x}$，从而可得$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（x+y-1）²，设x+y=m，则x=m-y；从而利用判别式求解．

解答 解：由题意建立如图所示坐标系，
设点M（3，a），N（b，4），0＜a＜4，0＜b＜3；
∵$\overrightarrow{AC}$=（3，4），$\overrightarrow{AM}$=（3，a），$\overrightarrow{AN}$=（b，4）；
又∵$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AM}$+y$\overrightarrow{AN}$，
∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），
即$\left\{\begin{array}{l}{3=3x+yb}\\{4=xa+4y}\end{array}\right.$，
∴b=$\frac{3-3x}{y}$，a=$\frac{4-4y}{x}$，
∴$\frac{1}{C{M}^{2}}$=$\frac{1}{（4-a）^{2}}$=$\frac{1}{16}$$\frac{{x}^{2}}{（x+y-1）^{2}}$，$\frac{1}{C{N}^{2}}$=$\frac{1}{9}$$\frac{{y}^{2}}{（x+y-1）^{2}}$，
∴$\frac{1}{16}$$\frac{{x}^{2}}{（x+y-1）^{2}}$+$\frac{1}{9}$$\frac{{y}^{2}}{（x+y-1）^{2}}$=1，
即$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（x+y-1）²，
设x+y=m，则x=m-y；
则$\frac{（m-y）^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（m-1）²，
即25y²-18my+9m²-144（m-1）²=0，
故△=（18m）²-4×25×（9m²-144（m-1）²）≥0，
即24m²-50m+25≥0，
解得，m≥$\frac{5}{4}$或m≤$\frac{5}{6}$（舍去）；
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的应用，同时考查了数形结合的思想与方程思想的应用，属于中档题．