Question

3．已知3^x+2y=3^x+9^y+3，则x+2y最小值为2．

Answer 1

分析 运用基本不等式可得3^x+2y≥2$\sqrt{{3}^{x+2y}}$+3，令t=$\sqrt{{3}^{x+2y}}$（t＞0），则t²≥2t+3，解不等式可得t的最小值，进而得到x+2y的最小值．

解答 解：由3^x+2y=3^x+9^y+3，
且3^x+9^y≥2$\sqrt{{3}^{x}•{9}^{y}}$=2$\sqrt{{3}^{x+2y}}$，
可得3^x+2y≥2$\sqrt{{3}^{x+2y}}$+3，
令t=$\sqrt{{3}^{x+2y}}$（t＞0），
则t²≥2t+3，解得t≥3，
即有3^x+2y≥9，
可得x+2y≥2，
当且仅当x=2y=1，取得最小值2．
故答案为：2．

点评 本题考查最值的求法，注意运用基本不等式和二次不等式的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．