Question

3．在△ABC中，O为其内部一点，且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OB}=\vec 0$，则△AOB和△AOC的面积比是（　　）

• A． 3：4
• B． 3：2
• C． 1：1
• D． 1：3

Answer 1

分析 设M为AC的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，结合题意可得2$\overrightarrow{OM}$=-3$\overrightarrow{OM}$，由数乘向量的性质可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；进而可得$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{OM}{BM}$=$\frac{3}{5}$，而又由S_△AOB+S_△BOC=$\frac{2}{5}$S_△ABC，分析可得S_△AOB=$\frac{1}{5}$S_△ABC，结合题意计算可得△AOB和△AOC的面积比，即可得答案．

解答 解：根据题意，如图：在△ABC中，M为AC的中点，
则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，
又由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OB}=\vec 0$，则有2$\overrightarrow{OM}$=-3$\overrightarrow{OB}$，
从而可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；
由2OM=3BO可得，$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{OM}{BM}$=$\frac{3}{5}$，
S_△AOB+S_△BOC=$\frac{2}{5}$S_△ABC，
又由S_△AOB=S_△BOC，则S_△AOB=$\frac{1}{5}$S_△ABC，
则$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{1}{3}$；
故选：D．

点评 本题考查向量的加法运算及其几何意义，向量的共线与点共线的相互转化，解题的关键是要发现由2OM=3BO．