Question

14．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥x}\end{array}\right.$，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是  （　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），得到直线y=-kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．
由z=kx+y得y=-kx+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y-kx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），
即直线y=-kx+z经过点A（1，1）时，截距最小，
由图象可知当阴影部分必须在直线y=-kx+z的右上方，
此时只要满足直线y=-kx+z的斜率-k大于直线OA的斜率即可
直线OA的斜率为1，
∴-k＞1，所以k＜-1．
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．根据目标函数在A（1，1）取得最小值，得到直线斜率的关系是解决本题的关键