Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，点A（c，b），右焦点F（c，0），椭圆上存在一点M，使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OA}$，且$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OF}=t\overrightarrow{OA}（{t∈R}）$，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 设M（x，y），由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OA}$⇒cx+by=c²，…①，由$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OF}=t\overrightarrow{OA}（{t∈R}）$，cy-bx=bc…②
由①②得x=$\frac{{a}^{2}c-2{b}^{2}c}{{a}^{2}}$，y=$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，…③
把③代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$得a⁴c²+4c⁶=a⁶⇒2c³=b³+bc²，c³-b³=bc²-c³，
⇒（c-b）（b²+bc+2c²）=0⇒b=c．

解答 解：设M（x，y），∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OA}$∴$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF）}=0$，⇒$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{FM}=0$
⇒即OA⊥MF⇒cx+by=c²，…①
.$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OF}=（x+c，y）$，因为$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OF}=t\overrightarrow{OA}（{t∈R}）$，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OF}与\overrightarrow{OA}$共线，cy-bx=bc…②
由①②得x=$\frac{{a}^{2}c-2{b}^{2}c}{{a}^{2}}$，y=$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，…③
把③代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$得a⁴c²+4c⁶=a⁶⇒2c³=b³+bc²，c³-b³=bc²-c³，
⇒（c-b）（b²+bc+2c²）=0⇒b=c
⇒a=$\sqrt{2}c$，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A

点评 本题考查了向量与圆锥曲线的综合应用，及向量的线性运算、转化思想，属于难题．