Question

15．某地十余万考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分为6组：第一组[40，50），第二组[50，60），…，第六组[90，100]，作出频率分布直方图，如图所示
（I）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩；
（II）现从及格的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.01	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，计算平均数即可；
（Ⅱ）根据分层抽样原理计算从这四组中分别抽取的人数，
填写列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，计算平均数为
$\overline{x}$=（45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005）×10=67；…（5分）
（Ⅱ）[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]四组学生的频率之比为
0.3：0.25：0.1：0.05=6：5：2：1，
按分层抽样应该从这四组中分别抽取30，25，10，5人，
依题意，可得到以下列联表：

	男生	女生	合计
优异	4	1	5
一般（及格）	32	33	65
合计	36	34	70

${k^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}=\frac{{70{{（{4×33-32×1}）}^2}}}{36×34×5×65}≈1.76＜3.841$，
对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关．…（12分）

点评 本题考查了平均数与分层抽样原理的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．