Question

19．已知全集U=R，非空集合$A=\left\{{x|\frac{x-2}{{x-（{3a+1}）}}＜0}\right\}，B=\left\{{x|\frac{{x-{a^2}-2}}{x-a}＜0}\right\}$．
（1）当$a=\frac{1}{2}$时，求（∁_UB）∩A；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当$a=\frac{1}{2}$时，分别求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．
（2）根据p是q的充分条件，转化为A⊆B，结合集合的包含关系，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，A={x|$\frac{x-2}{x-\frac{5}{2}}$＜0}={x|2＜x＜$\frac{5}{2}$}，B={x|$\frac{x-\frac{9}{4}}{x-\frac{1}{2}}$＜0}={x|$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{9}{4}$}，
则∁_UB={x|x≥$\frac{9}{4}$或x≤$\frac{1}{2}$}，
∴（∁_UB）∩A={x|$\frac{9}{4}$≤x＜$\frac{5}{2}$}．
（2）∵a²+2＞a，∴B={x|a＜x＜a²+2}，
①当3a+1＞2，即a＞$\frac{1}{3}$时，即A={x|2＜x＜3a+1}，
∵p是q的充分条件，∴A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a+1≤{a}^{2}+2}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{3}＜a≤\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
②当3a+1=2，即a=$\frac{1}{3}$时，即A=∅，符合题意；
③3a+1＜2，即a＜$\frac{1}{3}$时，即A={x|3a+1＜x＜2}，
由A⊆B得a≤3a+1，且a²+2≥2，解得-$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{3}$．
综上所述a∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$]．

点评 本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据条件求出集合的等价条件，结合集合关系转化为不等式关系是解决本题的关键．