Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n+3，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=1-b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n+3，即a_n+1-a_n=3，利用等差数列的通项公式可得a_n．数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=1-b_n．n≥2时，2b_n=2（S_n-S_n-1），化为：b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．n=1时，2b₁=1-b₁，解得b₁．利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n•3ⁿ⁺¹，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n+3，即a_n+1-a_n=3，
∴数列{a_n}为等差数列，首项与公差都为3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=1-b_n．
∴n≥2时，2b_n=2（S_n-S_n-1）=1-b_n-（1-b_n-1），
化为：b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．
n=1时，2b₁=1-b₁，解得b₁=$\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}为等比数列，首项与公比都为$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n•3ⁿ⁺¹，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
∴3T_n=3³+2×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ⁺¹+n•3ⁿ⁺²，
∴-2T_n=3²+3³+…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²=$\frac{9（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺²，
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺²+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．