Question

16．如图，椭圆C：$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜3）的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为$\frac{8}{3}$．
（1）求椭圆方程；
（2）若$\overrightarrow{PF}$=$2\overrightarrow{FQ}$，求直线PQ的方程；
（3）M，N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM，PN分别与x轴交于R，S，求证：|OR|•|OS|为定值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的简单性质，结合已知条件求出a，b，得到椭圆方程．
（2）设${l_{PQ}}：x=my+\sqrt{5}$与4x²+9y²=36联立，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理以及判别式，通过$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FQ}$求出m，然后求解直线方程．
（3）设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），则${l_{PM}}：y-{y_0}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_0}）$，令y=0得${x_R}=\frac{{-{y_0}（{x_0}-{x_1}）}}{{{y_0}-{y_1}}}+{x_0}$同理${l_{PN}}：y+{y_0}=\frac{{-{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_0}）$，通过化简|OR|•|OS|，结合点的坐标满足椭圆方程，化简求解|OR|•|OS|=9．

解答 解：（1）由题意得$\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{8}{3}$，且a=3，∴b²=4，故椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
（2）设${l_{PQ}}：x=my+\sqrt{5}$与4x²+9y²=36联立，
得：$（4{m^2}+9）{y^2}+8\sqrt{5}my-16=0$
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{y_1}+{y_2}=-\frac{{8\sqrt{5}m}}{{4{m^2}+9}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{-16}{{4{m^2}+9}}}\end{array}}\right.$
由$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FQ}$得y₁=-2y₂，$\frac{{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}}}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{y_1}{y_2}+2+\frac{y_2}{y_1}=-\frac{1}{2}$
即$\frac{{-20{m^2}}}{{4{m^2}+9}}=-\frac{1}{2}∴{m^2}=\frac{1}{4}$，
∴${l_{PQ}}：y=±2（x-\sqrt{5}）$；
（3）证明：设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），则${l_{PM}}：y-{y_0}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_0}）$，
令y=0得${x_R}=\frac{{-{y_0}（{x_0}-{x_1}）}}{{{y_0}-{y_1}}}+{x_0}$，同理${l_{PN}}：y+{y_0}=\frac{{-{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_0}）$，
得${x_S}=\frac{{{y_0}（{x_0}-{x_1}）}}{{-{y_0}-{y_1}}}+{x_0}$，
∴|OR|•|OS|=$（\frac{{-{y_0}（{x_0}-{x_1}）}}{{{y_0}-{y_1}}}+{x_0}）•$$（\frac{{{y_0}（{x_0}-{x_1}）}}{{-{y_0}-{y_1}}}+{x_0}）=\frac{{{x_1}^2{y_0}^2-{x_0}^2{y_1}^2}}{{{y_0}^2-{y_1}^2}}$（#）
又$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$∴${x_1}^2=9（1-\frac{{{y_1}^2}}{4}）$，∴${x_0}^2=9（1-\frac{{{y_0}^2}}{4}）$代入（#）
得：∴|OR|•|OS|=9．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．难度比较大．