Question

20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+$\frac{1}{2}$（ω≥0，|φ|＜π）的图象与直线y=c（$\frac{1}{2}$＜c＜$\frac{3}{2}$）的三个相邻交点的横坐标为2，6，18，若a=f（lg$\frac{1}{2}$），b=f（lg2），则以下关系式正确的是（　　）

• A． a+b=0
• B． a-b=0
• C． a+b=1
• D． a-b=1

Answer 1

分析 根据正弦函数的性质得出函数f（x）的周期及对称轴，解出f（x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性，结合lg$\frac{1}{2}$与lg2的关系判断．

解答 解：由正弦函数的性质可知f（x）的周期T=18-2=16，
f（x）的对称轴为x=$\frac{2+6}{2}$=4．且f（4）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∴ω=$\frac{2π}{16}=\frac{π}{8}$，φ=0．
∴f（x）=sin$\frac{π}{8}x$+$\frac{1}{2}$．
∵lg$\frac{1}{2}$=-lg2．
∴a=sin（$\frac{π}{8}×lg\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，b=sin（-$\frac{π}{8}×lg\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$=-sin（$\frac{π}{8}×lg\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，
∴a+b=1．
故选：C．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，对数的运算性质，函数奇偶性的应用，属于中档题．