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    如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的

    中点.

    (1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;

    (2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.


     (1)解:取CD的中点G,

    连结MG,NG.

    因为四边形ABCD,DCEF为正方形,

    且边长为2,

    所以MG⊥CD,MG=2,NG=.

    因为平面ABCD⊥平面DCEF,

    所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.

    所以MN==.

    (2)证明:假设直线ME与BN共面,

    则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.

    由题意知两正方形不共面,故AB⊄平面DCEF.

    又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,

    而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,

    所以AB∥EN.

    又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,

    这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.

    所以ME与BN不共面,它们是异面直线.


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