Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx（a∈R）．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x＞1时，不等式f（x）＜x²-$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，求得函数的解析式，当f（x）＞0，求的函数的单调递增区间，f（x）＜0，求得函数的单调递减区间；
（2）当x＞1时，将与不等式转化成a＜$\frac{{x}^{2}-1}{2lnx}$，对于?x∈（1，+∞）恒成立，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得f（x）的最小值，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，（x＞0）
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$，
当f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解的：0＜x＜$\sqrt{2}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为（$\sqrt{2}$，+∞），
单调递减区间为（0，$\sqrt{2}$）；
（2）当x＞1时，不等式f（x）＜x²-$\frac{1}{2}$恒成立，即不等式$\frac{1}{2}$x²+alnx＜x²-$\frac{1}{2}$，对?x∈（1，+∞）恒成立，
又x＞1时，lnx＞0，
∴不等式a＜$\frac{{x}^{2}-1}{2lnx}$，对于?x∈（1，+∞）恒成立，
设g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2lnx}$，g（x）=$\frac{2（{x}^{2}-1）lnx-\frac{2}{x}（{x}^{2}-1）}{（2lnx）^{2}}$=$\frac{2xlnx-x+\frac{1}{x}}{2（lnx）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}lnx-{x}^{2}+1}{2x（lnx）^{2}}$＞0，
∴函数g（x）在（1，+∞）是增函数，
∴g（x）＞g（1）=0，
综上所述，实数a的取值范围为[0，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题的综合运用，考查导数的运算法则，考查转化思想，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．