Question

4．已知函数f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{9}{5}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）正弦函数y=Asin（ωx+θ）的周期T=$\frac{2π}{|ω|}$，初相是φ；
（2）把f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{9}{5}$代入函数解析式求得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，然后利用公式sin²α+cos²α=1和α的取值范围得到cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，所以cos=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]，利用两角和与差的余弦将其展开，并代入相关数值进行求值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，初相φ=$\frac{π}{4}$；
（2）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{9}{5}$，得
3sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{9}{5}$，则sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
又α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$
因此，cos=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象，熟记公式的解题的关键，难度不大，属于基础题．