Question

已知数列中，，前和
（Ⅰ）求证：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，．

解析试题分析：（Ⅰ）对条件式进行变形，得到递推关系得证；（Ⅱ）由条件求出首项和公差即得；（Ⅲ）利用裂项相消法求出，再考察的上确界，可得的最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以，
所以，
整理，得，所以，
所以，
所以，所以，
所以，数列为等差数列。
（Ⅱ），，所以，即为公差，
所以；
（Ⅲ）因为，
所以，
所以对时，，且当时，，所以要使对一切正整数都成立，只要，所以存在实数使得对一切正整数都成立，的最小值为.
考点：等差数列、数列的求和、不等式、裂项相消法.