Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，且a_n²=2a_n•a_n+1-4，记b_n=lg

an+2

an-2

，则数列b_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{a_n}满足a₁=4，a_n²=2a_n•a_n+1-4，b_n=lg

an+2

an-2

，利用递推思想求出数列{b_n}的前4项，由此利用合理猜想，能求出b_n=2^n-1lg3．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=4，a_n²=2a_n•a_n+1-4，b_n=lg

an+2

an-2

，
∴b1=lg(

4+2

4-2

)=lg3，
∴16=8a₂-4，解得a₂=

5

2

，b₂=lg（

5 2 +2

5 2 -2

）=lg9=2lg3，

25

4

=2×

5

2

a3-4，解得a₃=

41

20

，b3=lg(

41 20 +2

41 20 -2

)=lg81=4lg3，

1681

400

=2×

41

20

a4-4，解得a4=

3281

1640

，b₄=lg（

3281 1640 +2

3281 1640 -2

）=lg6561=8lg3，
由此猜想：b_n=2^n-1lg3．
故答案为：2^n-1lg3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意递推思想和合理猜想的灵活运用．