Question

3．如图，在棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点．
（1）求证：PQ∥平面SAD；
（2）求证：AC⊥平面SEQ．

Answer 1

分析 （1）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．
（2）连结BD，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．证明EQ⊥AC，然后证明AC⊥平面SEQ．

解答 证明：（1）取SD中点F，连结AF，PF．
因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，
所以 FP∥CD，且FP=$\frac{1}{2}$CD．
又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，
所以 AQ∥CD，且AQ=$\frac{1}{2}$CD．
所以 FP∥AQ且FP=AQ．
所以 AQPF为平行四边形．
所以 PQ∥AF．
又因为 PQ?平面SAD，
AF?平面SAD，
所以 PQ∥平面SAD．…（6分）
（2）连结BD，
因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD∩平面ABCD=AD，
SE?平面SAD，
所以 SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥AC．
因为 底面ABCD为菱形，
E，Q分别是棱AD，AB的中点，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因为 SE∩EQ=E，
所以 AC⊥平面SEQ． …（12分）

点评 本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，棱锥的体积的求法，考查计算能力，属于中档题．