Question

16．已知P为椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1上任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，则|PF₁|•|PF₂|的最大值是4，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值是8．

Answer 1

分析 借助于椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用基本不等式的性质即可|PF₁|•|PF₂|的最大值．利用PF₁|•|PF₂|的最大值，即可得到的|PF₁|²+|PF₂|²的最小值．

解答 解：由题意：椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1，可得a=2，P时椭圆上任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点．
由椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，即m+n=2a=4，
∴m+n$≥2\sqrt{mn}$，当且仅当m=n时取等号．
所以：mn≤4
即|PF₁|•|PF₂|的最大值为4．
|PF₁|²+|PF₂|²的=m²+n²≥2mn=8当且仅当m=n时取等号．
所以|PF₁|²+|PF₂|²的最小值8．
故答案为：4，8．

点评 本题考查了椭圆的定义与基本不等式的结合的灵活运能力．属基础题，