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    曲线在矩阵的变换作用下得到曲线．
    （Ⅰ）求矩阵；
    （Ⅱ）求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．

    （Ⅰ）矩阵；（Ⅱ）矩阵的特征值或．当时，对应的特征向量为；当时，对应的特征向量为．

    解析试题分析：（Ⅰ）首先设曲线上的任一点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，则由可得再由点在曲线上，把代入求得的值，即可得矩阵；（Ⅱ）由，可得矩阵的特征值，根据特征向量的求法，分别列出方程组，即可求得其对应的特征向量．
    试题解析：（Ⅰ）设曲线上的任一点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，则由点在曲线上，得，再由，解得．3分
    （Ⅱ）由，解得：或． 5分
    当时，由得对应的特征向量为；当时，由得对应的特征向量为．7分
    考点：1．矩阵与变换；2．矩阵的特征值及对应的一个特征向量的计算．

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图,已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线与x轴交于K点.

    （1）求证：KF平分∠MKN；
    （2）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求的最小值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知抛物线与椭圆有公共焦点，且椭圆过点.
    （1）求椭圆方程；
    （2）点、是椭圆的上下顶点，点为右顶点，记过点、、的圆为⊙，过点作⊙ 的切线，求直线的方程；
    （3）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点、，试问直线是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点，并求出该定点的坐标.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．(12分)

    （1）求椭圆的方程；（3分）
    （2）求的最小值，并求此时圆的方程；（4分）
    （3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．（5分）

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点，并求出该定点的坐标.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
    （Ⅰ）求抛物线的方程；
    （Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
    （Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设抛物线的焦点为，准线为，，以为圆心的圆与相切于点，的纵坐标为，是圆与轴除外的另一个交点.
    (I)求抛物线与圆的方程；
    (II)过且斜率为的直线与交于两点，求的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知圆，圆，动圆与已知两圆都外切.
    （1）求动圆的圆心的轨迹的方程；
    （2）直线与点的轨迹交于不同的两点、，的中垂线与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.

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