已知抛物线的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当点为直线
上的定点时,求直线
的方程;
(Ⅲ)当点在直线
上移动时,求
的最小值.
(1) (2)
(3)
解析试题分析: (1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值,便可确定抛物线方程;(2)利用求导的思路确定抛物线的两条切线,借助均过点P,得到直线方程;(3)通过直线与抛物线联立,借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理,通过参数的消减得到函数关系式
是解题的关键,然后利用二次函数求最值,需注意变量的范围.
试题解析:(1)依题意,解得
(负根舍去) (2分)
抛物线
的方程为
; (4分)
(2)设点,
,
,由
,即
得
.
∴抛物线在点
处的切线
的方程为
,即
. (5分)
∵, ∴
. ∵点
在切线
上, ∴
. ①
同理, . ② (6分)
综合①、②得,点的坐标都满足方程
. (7分)
∵经过两点的直线是唯一的,∴直线
的方程为
,即
; (8分)
(3)由抛物线的定义可知, (9分)
所以联立
,消去
得
,
(10分)
(11分)
当
时,
取得最小值为
(12分)
考点:抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点
,离心率
,右焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的上顶点为,在椭圆
上是否存在点
,使得向量
与
共线?若存在,求直线
的方程;若不存在,简要说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)。
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为,求以
为焦点且过
点的双曲线的标准方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,点分别是椭圆C:
的左、右焦点,过点
作
轴的垂线,交椭圆
的上半部分于点
,过点
作
的垂线交直线
于点
.
(1)如果点的坐标为(4,4),求椭圆
的方程;
(2)试判断直线与椭圆
的公共点个数,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为
.从这个圆上任意一点
向
轴作垂线
,
为垂足.
(Ⅰ)求线段中点
的轨迹方程;
(Ⅱ)已知直线与
的轨迹相交于
两点,求
的面积
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
抛物线M: 的准线过椭圆N:
的左焦点,以坐标原点为圆心,以t(t>0)为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的部分以及y轴的正半轴相交于点A与点B,直线AB与x轴相交于点C.
(1)求抛物线M的方程.
(2)设点A的横坐标为x1,点C的横坐标为x2,曲线M上点D的横坐标为x1+2,求直线CD的斜率.
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