已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
(Ⅰ)椭圆C的方程为;(Ⅱ)点M的轨迹方程为,其中.当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分;当时,点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段;当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分;当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.
解析试题分析:(Ⅰ)由已知可设椭圆长半轴长及半焦距分别为,于是得由此可解得,进而可写出椭圆的标准方程;(Ⅱ)首先设,其中.由已知及点在椭圆上可得,整理得.注意到,令,得.需按及讨论.在的情形下,点M的轨迹为椭圆,这时需要注意是否要加上限制条件.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得,所以椭圆的标准方程为. (5分)
(Ⅱ)设,其中.由已知及点在椭圆上可得.
整理得,其中. (7分)
(i)时,化简得,所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段. (9分)
(ii)时,方程变形为,其中,
当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分; (11分)
当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分; (13分)
当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆. (15分)
考点:1.椭圆方程的求法;2.轨迹方程的求法.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线与椭圆有公共焦点,且椭圆过点.
(1)求椭圆方程;
(2)点、是椭圆的上下顶点,点为右顶点,记过点、、的圆为⊙,过点作⊙ 的切线,求直线的方程;
(3)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点、,试问直线是否经过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
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已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.
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设抛物线的焦点为,准线为,,以为圆心的圆与相切于点,的纵坐标为,是圆与轴除外的另一个交点.
(I)求抛物线与圆的方程;
(II)过且斜率为的直线与交于两点,求的面积.
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在平面直角坐标系中,直线l与抛物线相交于不同的两点A,B.
(I)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(II)如果,证明直线l必过一定点,并求出该定点坐标.
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已知椭圆C的中心在原点,焦点F在轴上,离心率,点在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线交椭圆与、两点,且、、成等差数列,点M(1,1),求的最大值.
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在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
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已知圆,圆,动圆与已知两圆都外切.
(1)求动圆的圆心的轨迹的方程;
(2)直线与点的轨迹交于不同的两点、,的中垂线与轴交于点,求点的纵坐标的取值范围.
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