Question

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

（Ⅰ）椭圆C的方程为；（Ⅱ）点M的轨迹方程为，其中．当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．

解析试题分析：（Ⅰ）由已知可设椭圆长半轴长及半焦距分别为，于是得由此可解得，进而可写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设，其中．由已知及点在椭圆上可得，整理得．注意到，令，得．需按及讨论．在的情形下，点M的轨迹为椭圆，这时需要注意是否要加上限制条件．
试题解析：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，所以椭圆的标准方程为．     （5分）
（Ⅱ）设，其中．由已知及点在椭圆上可得．
整理得，其中．                   （7分）
（i）时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段．                                            （9分）
（ii）时，方程变形为，其中，
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分； （11分）
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；  （13分）
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．                          （15分）
考点：1．椭圆方程的求法；2．轨迹方程的求法．