Question

3．已知f（x）=alnx+x²-8x+c．
（1）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（2）若a=6，对任意k∈[-1，1]，函数y=kx（x∈（0，6]）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，计算判别式△，通过讨论a的范围判断函数的单调性；（2）问题转化为-c＞6lnx+x²-7x对?x∈（0，6]成立，根据函数恒成立求出c的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx+x²-8x+c（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-8x+a}{x}$，…（1分）∴△=64-8a
①当△=64-8a≤0，即a≥8时，f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-8x+a}{x}$≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（3分）
②当△=64-8a＞0，即0＜a＜8时，
方程∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-8x+a}{x}$=0的两根是x₁=2-$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，x₂=2+$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，且0＜x₁＜x₂，
∴由f′（x）＞0得：0＜x＜x₁或x＞x₂；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；
由f′（x）＜0得：x₁＜x＜x₂；
∴f（x）在（x₁，x₂）上单调递减；…（5分）
综上，当a≥8时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜8时，f（x）的递增区间是（0，2-$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$），（2+$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，+∞），
递减区间是（2-$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$）…（6分）
（2）∵对任意k∈[-1，1]，函数y=kx（x∈（0，6]）的图象总在函数f（x）=6lnx+x²-8x+c图象的上方，
∴kx＞f（x）对?x∈（0，6]，?k∈[-1，1]成立…（7分）
∴kx＞6lnx+x²-8x+c对?k∈[-1，1]成立，
∴-x＞6lnx+x²-8x+c对?x∈（0，6]成立…（9分）
∴-c＞6lnx+x²-7x对?x∈（0，6]成立，
令g（x）=6lnx+x²-7x，则g′（x）=$\frac{（2x-3）（x-2）}{x}$，
由g′（x）=0，解得：x=$\frac{3}{2}$或x=2，
∴g（$\frac{3}{2}$）=6ln$\frac{3}{2}$-$\frac{33}{4}$＜0，
g（2）=6ln2+4-14=6ln2-10＜0，
g（6）=6ln6+36-42=6ln6-6＞0，
∴g（x）_max=g（6）=6ln6-6，
∴-c＞6ln6-6，
即c＜6-6ln6…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，本题有一定的难度．