Question

12．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；
（Ⅱ）若AF=2，CF=2$\sqrt{2}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是$\widehat{AB}$所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．
（II）利用切割线定理可得CF²=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=$\frac{AB}{sin∠AEB}$，即可得出答案．

解答 证明：（I）如图所示，连接BE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E与∠ACB都是$\widehat{AB}$所对的圆周角，
∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE．
又AB=BC，
∴BC•AC=AD•AE．
解：（II）∵CF是⊙O的切线，
∴CF²=AF•BF，
∵AF=2，CF=2$\sqrt{2}$，
∴（2$\sqrt{2}$）²=2BF，解得BF=4．
∴AB=BF-AF=2．
∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，
∴△AFC∽△CFB，
∴AF：FC=AC：BC，
∴AC=$\frac{AF•BC}{CF}$=$\sqrt{2}$．
∴cos∠ACD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sin∠ACD=$\frac{\sqrt{14}}{4}$=sin∠AEB，
∴AE=$\frac{AB}{sin∠AEB}$=$\frac{4\sqrt{14}}{7}$

点评 本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．