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    20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在该椭圆上．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）不垂直坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，-$\frac{3}{2}$），求直线l的方程．

    分析 （1）由椭圆所过点A可求得b值，由离心率及a2=b2+c2可求得a值，从而得椭圆方程；
    （2）设直线方程y=kx+t及A、B点的坐标，将直线方程代入椭圆方程，化简整理关于x的一元二次方程，利用韦达定理分别求得x1+x2和x1•x3的值，写出y1+y2和y1•y2的表达式，由题意AB为直径的圆过原点，可知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，根据向量数量积的坐标化简整理5t2=4+4k2，△＞0，解得t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，设出中点坐标，由中点坐标公式及直线PD与直线l垂直，求得t的值，即可求得k的值，写出直线方程．

    解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，a2=b2+c2，解得：a=2，b=1，
    所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．                      …（4分）
    （2）设直线l的方程为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，
    则由△＞0⇒4k2+1＞t2，
    x1+x2=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，x1•x2=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，…（6分）
    y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=$\frac{2t}{1+4{k}^{2}}$，
    y1•y2=（kx1+t）×（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，
    =k2×$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+kt（$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$）+t2，
    =$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
    ∵以AB为直径的圆过坐标原点，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$⇒x1x2+y1y2=0，
    ∴x1x2+y1y2=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
    ∴5t2=4+4k2，…（8分）
    △＞0⇒4k2+1＞t2，t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    又设AB的中点为D（m，n），则有：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}}\\{n=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{t}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
    ∵直线PD与直线l垂直，所以${k}_{PD}=-\frac{1}{k}$=$\frac{-\frac{3}{2}-n}{-m}$⇒$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，…（10分）
    由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t}{1+4{k}^{2}}=\frac{1}{2}}\\{5{t}^{2}=4+4{k}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}=1}\\{{t}_{2}=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
    当t=-$\frac{3}{5}$时，△＜0舍去
    当t=1时，k=±$\frac{1}{2}$，
    ∴所求直线方程为y=$\frac{1}{2}$x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．…（12分）

    点评 本题考查直线方程、椭圆方程及直线与椭圆位置关系，考查向量的数量积运算，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，属于难题．

    练习册系列答案
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    10．如图，点F1，F2分别是椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是下顶点，抛物线C2：y=x2-1与x轴交于点F1，F2，与y轴交于点B，且点B是线段OA的中点，点N为抛物线上C2的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P，Q两点．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）若点M（0，-$\frac{4}{5}$），求△MPQ面积的最大值．

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    11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M，N两点，且|MN|=3．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设直线l经过点F且斜率为k，l与椭圆C相交于A，B两点，与以椭圆C的右顶点E为圆心的圆相交于P，Q两点（A，P，B，Q自下至上排列），O为坐标原点．若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{9}{5}$，且|AP|=|BQ|，求直线l和圆E的方程．

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    8．已知方程$\frac{{x}^{2}}{5-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1表示椭圆，求实数m的取值范围．

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    15．某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（　　）
    A．60B．90C．150D．120

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    5．把函数f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度后与原图象重合，则当ω取最小值时，f（x）的单调递减区间是（　　）
    A．[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）B．[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]（k∈Z）
    C．[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$]（k∈Z）D．[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{7π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$]（k∈Z）

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    12．直线y=kx-k+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的位置关系是（　　）
    A．相交B．相切C．相离D．不确定

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    9．某海滨游乐场出租快艇的收费办法如下：不超过十分钟收费80元；超过十分钟，超过部分按每分钟10元收费（对于其中不足一分钟的部分，若小于0.5分钟则不收费，若大于或等于0.5分钟则按一分钟收费），小茗同学为该游乐场设计了一款收费软件，程序框图如图所示，其中x（分钟）为航行时间，y（元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（　　）
    A．y=10[x]B．y=10[x]-20C．y=10[x-$\frac{1}{2}$]-20D．y=10[x+$\frac{1}{2}$]-20

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    4．设f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=x3-x2-3．
    （1）当a=1时，求f（x）在点（1，1）处的切线方程．
    （2）如果对任意的$s，t∈[\frac{1}{2}，2]$，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

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