【题目】已知椭圆的右焦点为
,过
的直线
与
交于
,
两点,点
的坐标为
.当
轴时,
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线、
的斜率分别为
、
,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)由已知条件得b2=a2﹣1,利用通径公式得出|AB|的表达式,再由△ABM的面积得出有关a的方程,求出a的值,可得出椭圆C的标准方程;
(2)对直线l与x轴垂直、与y轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论.在前两种情况下可直接进行验证;在第三种情况下,设直线l的方程为y=k(x﹣1)(k≠0),将直线l的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,利用斜率公式并代入韦达定理,通过化简计算得出结论成立.
(1)依题意得,即
,
所以当时,解得
,当
轴时,
,
因为,所以
,解得
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)当与
轴重合时,
,满足条件;当
与
轴垂直时,满足条件,
当与
轴不重合且不垂直时,设
为
,
,
,
把代入
,得
,
则,
,
因为
,
而,
所以.
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【题目】已知集合,
,集合
,且集合
满足
,
.
(1)求实数的值;
(2)对集合,其中
,定义由
中的元素构成两个相应的集合:
,
,其中
是有序数对,集合
和
中的元素个数分别为
和
,若对任意的
,总有
,则称集合
具有性质
.
①请检验集合与
是否具有性质
,并对其中具有性质
的集合,写出相应的集合
和
;
②试判断和
的大小关系,并证明你的结论.
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【题目】已知函数为常数
(1)当在
处取得极值时,若关于x的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
(2)若对任意的,总存在
,使不等式
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数
(1)用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(2)写出的对称中心与单调递增区间,并求
振幅、周期、频率、相位及初相;
(3)求的最大值以及取得最大值时x的集合.
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【题目】设,若存在
,使得
,且对任意
,均有
(即
是一个公差为
的等差数列),则称数列
是一个长度为
的“弱等差数列”.
(1)判断下列数列是否为“弱等差数列”,并说明理由.
①1,3,5,7,9,11;
②2,,
,
,
.
(2)证明:若,则数列
为“弱等差数列”.
(3)对任意给定的正整数,若
,是否总存在正整数
,使得等比数列:
是一个长度为
的“弱等差数列”?若存在,给出证明;若不存在,请说明理由
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【题目】把函数的图象沿着
轴向左平移
个单位,纵坐标伸长到原来的
倍(横坐标不变)后得到函数
的图象,对于函数
有以下四个判断:
(1)该函数的解析式为;
(2)该函数图象关于点对称;
(3)该函数在上是增函数;
(4)若函数在
上的最小值为
,则
.
其中正确的判断有( )
A.个B.
个C.
个D.
个
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【题目】如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9xB.y2=6x
C.y2=3xD.
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