Question

已知△ABC中，

AB

⊥

AC

，|

AB

-

AC

|=2，点M是线段BC（含端点）上的一点，且

AM

•（

AB

+

AC

）=1，则|

AM

|的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，2）
• B、[

  1

  2

  ，1]
• C、（1，2]
• D、（1，

  3

  2

  ]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系，则B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．利用向量的坐标运算可得b²+c²=4．再利用数量积运算

AM

•（

AB

+

AC

）=1，
可得bx+cy=1．利用数量积性质可得（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，可得|

AM

|≥

1

2

．再利用

x

b

+

y

c

=1，1=(bx+cy)(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，可得x²+y²≤1，即可得出．

解答： 解：解：如图所示，建立直角坐标系．
则B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．
∵|

AB

-

AC

|=|

CB

|=2，

AB

+

AC

=

AD

，及四边形ABDC为矩形，
∴|

AD

|=|

CB

|=2．
∴b²+c²=4．
∵

AM

•（

AB

+

AC

）=1，
∴bx+cy=1．
|

AM

|=

x2+y2

．
∵（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，
∴4（x²+y²）≥1．
∴

x2+y2

≥

1

2

．即|

AM

|≥

1

2

．
∵点M在直线BC上，∴

x

b

+

y

c

=1．
∴1=(bx+cy)(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，
∵b，c＞0，x≥0，y≥0．
∴x²+y²≤1，即

x2+y2

≤1（当且仅当x=0或y=0时取等号），
综上可得：

1

2

≤|

AM

|≤1．
故选：B．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．