Question

12．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ₁（万元）的概率分布列如表所示：

ξ1	110	120	170
P	m	0.4	n

且ξ₁的期望E（ξ₁）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ₂（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ₂的关系如表所示：

X	0	1	2
ξ2	41.2	117.6	204.0

（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求ξ₂的分布列；
（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离散型随机变量的分布列及数学期望的性质列出方程组，能求出m，n的值．
（Ⅱ）ξ₂的可能取值为41.2，117.6，204，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ₂的分布列．
（Ⅲ）求出可得E（ξ₂），由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，从而E（ξ₂）＞E（ξ₁），由此能求出p的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}m+0.4+n=1\\ 110m+120×0.4+170n=120\end{array}\right.$，
解得m=0.5，n=0.1．
（Ⅱ）ξ₂的可能取值为41.2，117.6，204，
P（ξ₂=41.2）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），
$P（{ξ_2}=117.6）=p[{1-（1-p）}]+（1-p）（1-p）={p^2}+{（1-p）^2}$，
P（ξ₂=204）=p（1-p），
所以ξ₂的分布列为：

ξ2	41.2	117.6	204
P	p（1-p）	p2+（1-p）2	p（1-p）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得$E（{ξ_2}）=41.2p（1-p）+117.6[{{p^2}+{{（1-p）}^2}}]+204p（1-p）=-10{p^2}+10p+117.6$，
由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，
所以E（ξ₂）＞E（ξ₁），
所以-10p²+10p+117.6＞120，
解得0.4＜p＜0.6，所以p的取值范围是（0.4，0.6）．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．