Question

函数y=

1-(x+2)2

图象上存在不同的三点到原点的距离成等比数列，则

1

2

，

3

3

，

3

2

，

3

，2这五个数中可以成为公比的数的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可知，函数图象为上半圆，根据图象可得圆上点到原点的最短距离为1，最大距离为3．根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论．

解答： 解：∵y=

1-(x+2)2

，
∴（x+2）²+y²=1，（y≥0），对应的图象为圆心（-2，0），半径r=1的上半圆．
则圆上的点到原点的距离的最小值为OA=1，最大值为OB=3，
若函数y=

1-(x+2)2

图象上存在不同的三点到原点的距离成等比数列，
则不妨设a₁=1，则由题意可知a_n=3，n≥3，
则a_n=3=q^n-1，
则当n=3时，q²=3，解得q=

3

，此时公比最大，
若a₁=3，则由题意可知a_n=1，n≥3，
则a_n=3q^n-1=1
则当n=3时，q²=

1

3

，解得q=

3

3

，此时公比最小，
即满足条件的公比的q满足

3

3

≤q≤

3

，
则则

1

2

，

3

3

，

3

2

，

3

，2这五个数中可以成为公比的数为

3

3

，

3

2

，

3

共有三个，
故选：B

点评：本题的考点是等比关系的确定，主要考查等比数列的定义，等比中项以及函数作图，属于中档题．