Question

5．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA-csinC=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若边长$c=\sqrt{3}$，求△ABC的周长最大值．

Answer 1

分析 （1）通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．
（2）由已知利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sin（$\frac{2π}{3}$-A），利用三角函数恒等变换的应用化简可求a+b+c=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，根据A+$\frac{π}{6}$ 的范围，利用正弦函数的图象和性质得到结果．

解答 解：（1）由已知，根据正弦定理，asinA-csinC=（a-b）sinB
得，a²-c²=（a-b）b，即a²+b²-c²=ab．
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
又C∈（0，π）．
所以C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，$c=\sqrt{3}$，A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（$\frac{2π}{3}$-A），
∴a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=$\sqrt{3}$+2sinA+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$
∵由0＜A＜$\frac{2π}{3}$ 可知，$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得：$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1．
∴a+b+c的取值范围（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．