Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，B，C的度数成等差数列且b=

3

，则a+c的最大值是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质,余弦定理

专题：计算题

分析：依题意可求得B=

π

3

，又b=

3

，利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

可将a+c转化为相应角的正弦和，利用辅助角公式即可求得a+c的最大值．

解答： 解：∵△ABC中，A，B，C的度数成等差数列，
∴B=

π

3

，又b=

3

，
∴

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=2，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴a+c=2sinA+2sinC
=2sinA+2sin（

2π

3

-A）
=2[sinA+

3

2

cosA-（-

1

2

）sinA]
=2（

3

2

sinA+

3

2

cosA）
=2

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1．
∴a+c的最大值为2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查正弦定理，考查三角函数间的关系与恒等变换，考查转化思想与运算能力，属于中档题．