Question

13．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-10.3]=-11，定义函数{x}=x-[x]，那么下列结论中正确的序号是②③．
①函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]；
②方程$\{x\}=\frac{1}{2}$有无数解；
③函数{x}是周期函数；
④函数{x}在[n，n+1]（n∈Z）是增函数．

Answer 1

分析 此题为函数定义方面的创新题，

解答 ①当 x 取整数时，{x}=0 恒成立．当 x∈（n，n+1）（n∈Z） 时，{x}不可能取到 1．{x}函数值域为[0，1）．故①不正确．
②当取 x=n+$\frac{1}{2}$，且 n 为正整数时，{x}=x-[x]=n+$\frac{1}{2}$-n=$\frac{1}{2}$，故这样的正整数n有无数多个，所以②正确．
③因为{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，故函数{x}是周期为1的函数．所以③正确；
④函数定义域为R，取 n 为正整数．当 x=n 时，{x}=n-[n]=0； 当 x=n+1 时，{x}=n+1-[n+1]=0； 所以{x}在区间[n，n+1]（n∈Z）不是增函数．

点评 本题需对新函数定义的充分理解．