Question

4．P是椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$上的一点，F₁和F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△F₁PF₂的面积等于（　　）

• A． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• B． $16（2+\sqrt{3}）$
• C． $4（2-\sqrt{3}）$
• D． 16

Answer 1

分析 由题意方程求出a，c的值，在△PF₁F₂中，由余弦定理求得PF₁PF₂的值，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：如图，

由椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，得a²=5，b²=4，则c²=a²-b²=1，
∴$a=\sqrt{5}，c=1$．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得：${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}=P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}•cos∠{F}_{1}P{F}_{2}$，
即$4{c}^{2}=（P{F}_{1}+P{F}_{2}）^{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$4=（2\sqrt{5}）^{2}-（2+\sqrt{3}）P{F}_{1}P{F}_{2}$，得$P{F}_{1}P{F}_{2}=16（2-\sqrt{3}）$．
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}×P{F}_{1}P{F}_{2}sin30°=\frac{1}{2}×16（2-\sqrt{3}）×\frac{1}{2}$=$4（2-\sqrt{3}）$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形面积的求法，是中档题．