已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左.右焦点分别为F1.F2.点$P({-1.\frac{{2\sqrt{3}}}{3}})$在椭圆C上.|PF2|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$.过点F1的直线l与椭圆C分别交于M.N两点．(1)求椭圆C的标准方程和离心率,(2)若△OMN的面积为$\frac{12}{11}$.O为坐标原点.求直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，点$P（{-1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$在椭圆C上，|PF₂|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，过点F₁的直线l与椭圆C分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）若△OMN的面积为$\frac{12}{11}$，O为坐标原点，求直线l的方程．

分析（1）由两点之间的距离公式|PF₂|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，即可求得c的值，即可求得丨PF₁丨=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，根据椭圆的定义，即可求得a的值，求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由当直线MN与x轴垂直时，显然不成立，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求k的值，求得直线l的方程．

解答解：（1）由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
由|PF₂|=$\sqrt{（-1-c）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，解得：c=1，则F₁（-1，0），PF₁⊥F₁F₂，
则丨PF₁丨=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=2，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）当直线MN与x轴垂直时，丨MN丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则△OMN的面积S_△OMN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，不符合题意，舍去；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线l：y=k（x+1），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
则x₁+x₁=$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2+3{k}^{2}}$，
原点O到直线MN的距离d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则三角形的面积S_△OMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2+3{k}^{2}}$×$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12}{11}$，解得：k²=3，则k=±$\sqrt{3}$，
∴直线MN的方程为y=$\sqrt{3}$（x+1）或y=-$\sqrt{3}$（x+1）．

点评本题考查椭圆的定义及方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．

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