Question

6．已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 依题意，可求得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，于是可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（1）利用正弦函数的周期公式T=$\frac{2π}{2}$可得f（x）的最小正周期；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）可求得f（x）的单调递减区间；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，利用正弦函数的单调性与最值即可求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

解答 解：∵函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=a（1+cos2x）+$\frac{b}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}2a-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ a+\frac{b}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）得：kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$（k∈Z）
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值1；
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考察三角函数的周期性、单调性与最值，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．