Question

3．已知x，y∈R．
（Ⅰ）若x，y满足$|{x-3y}|＜\frac{1}{2}$，$|{x+2y}|＜\frac{1}{6}$，求证：$|x|＜\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）求证：x⁴+16y⁴≥2x³y+8xy³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）|x|=$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）+3（x+2y）|]≤$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）|+|3（x+2y）|]＜$\frac{1}{5}$（2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$）=$\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）x⁴+16y⁴-（2x³y+8xy³）=x⁴-2x³y+16y⁴-8xy³=x³（x-2y）+8y³（2y-x）=（x-2y）²[（x+y）²+3y²]≥0即可．

解答 证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：
|x|=$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）+3（x+2y）|]≤$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）|+|3（x+2y）|]＜$\frac{1}{5}$（2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$）=$\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）因为x⁴+16y⁴-（2x³y+8xy³）=x⁴-2x³y+16y⁴-8xy³=x³（x-2y）+8y³（2y-x）
=（x-2y）（x³-8y³）=（x-2y）（x-2y）（x²+2xy+4y²）
=（x-2y）²[（x+y）²+3y²]≥0，
∴x⁴+16y⁴≥2x³y+8xy³

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，作差法证明不等式，属于中档题．