Question

13．设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜1$，若a₃+a₅=20，a₂a₆=64，则S₄=（　　）

• A． 63或126
• B． 252
• C． 120
• D． 63

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}公比为q，且0＜q=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜1$，根据a₃+a₅=20，a₂a₆=64=a₃a₅，解得a₃=16，a₅=4．可得q²=$\frac{1}{4}$，0＜q＜1，解得q，a₁，利用求和公式即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}公比为q，且0＜q=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜1$，
∵a₃+a₅=20，a₂a₆=64=a₃a₅，
解得a₃=16，a₅=4．
∴q²=$\frac{1}{4}$，0＜q＜1，解得q=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{1}×\frac{1}{4}$=16，解得a₁=64．
则S₄=$\frac{64[1-（\frac{1}{2}）^{4}]}{1-\frac{1}{2}}$=120．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．