Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1 ， AC=BC=CC1=4
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴BC⊥平面AA1C1C，
∴BC⊥AC1 ．
（2）解法一：当AF=3FC时，EF∥平面AA1B1B．
证明如下：在平A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG．
∵B1E=3EC1 ， ∴，
又AF∥A1C1且
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF面AA1B1B，AG平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B．
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1 ．
证明：在平面ABC内过E作EG∥BB1交BC于G，连接FG．
∵EG∥BB1 ， EGA1ABB1 ， BB1平面A1ABB1 ，
∴EG∥平面A1ABB1 ．
∵B1E=3EC1 ， ∴BG=3GC．
∴FG∥AB，
又AB平面A1ABB1 ， FG平面A1ABB1 ．
∴FG∥平面A1ABB1 ．
又EG∩FG=F，
∴平面EFG∥平面A1ABB1 ．
∴EF∥平面A1ABB1 ．

【解析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）证法一：利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：利用面面平行的判定定理．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的性质的相关知识，掌握一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行．