Question

17．使得指数函数y=（3a-2a²）^x为增函数的实数a的集合为A，不等式x²-2x+1-m²≤0（m＞0）的解集为B．
（1）求集合A、B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用指数函数为增函数列出不等式求解即可得到A，二次不等式求解得到B．．
（2）利用充分不必要条件列出不等式组，求解即可．

解答 解：（1）∵指数函数y=（3a-2a²）^x为增函数
∴3a-2a²＞1即2a²-3a+1＜0解得$\frac{1}{2}＜a＜1$
∴$A=（\frac{1}{2}，1）$
由x²-2x+1-m²≤0（m＞0）得[x-（1-m）][x-（1+m）]≤0即 1-m≤x≤1+m
∴B=[1-m，1+m]
（2）∵x∈A是x∈B的充分不必要条件
∴A⊆B且A≠B
∴$\left\{\begin{array}{l}1-m≤\frac{1}{2}\\ 1+m≥1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m≥\frac{1}{2}\\ m≥0\end{array}\right.⇒m≥\frac{1}{2}$
∴实数m取值范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查集合的求法，以及不等式的解法，考查计算能力．