Question

【题目】如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.

(1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE,∠BAC＝45° ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

试题解析：（Ⅰ）根据 便可得到，从而可以得出四边形 为平行四边形，从而得到，便有 平面 再证明 平面 ，从而得到平面B 平面，从而 平面；
（Ⅱ）连接 ，根据条件能够说明 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接，可说明 为平面ACFD的一条法向量，设平面的法向量为

根据 即可求出法向量，设平面 与平面 所成的角为 ，根据 即可求出平面 与平面所成的角的大小．

证明：

在三棱台DEF－ABC中，

由BC＝2EF，H为BC的中点，

可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四边形BHFE为平行四边形，

可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，

所以平面FGH∥平面ABED.

因为BD平面ABED，

所以BD∥平面FGH.

(2)解　设AB＝2，则CF＝1.

在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形，

因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.

在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点.所以AB＝BC，GB⊥GC，

因此GB，GC，GD两两垂直.以G为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.

所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，D(0，0，1).

可得H，F(0，，1)，

故＝，＝(0，，1).

设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，

则由可得

可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，).

因为是平面ACFD的一个法向量，＝(，0，0).

所以cos〈，n〉＝＝＝.

所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.