Question

在△ABC中内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若△ABC的面积为

1

8

，其外接圆直径为4，求证：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

a

+

b

+

c

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：等差数列与等比数列

分析：由正弦定理和题意得：sinA=

a

4

、sinB=

b

4

、sinC=

c

4

，代入三角形面积公式化简得abc=1，再利用基本不等式进行证明不等式成立．

解答： 证明：由正弦定理得，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R=4，
所以sinA=

a

4

，sinB=

b

4

，sinC=

c

4

，
因为△ABC的面积为

1

8

，所以

1

2

absinC=

1

8

，
即

1

2

ab×

c

4

=

1

8

，解得abc=1，
因为

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=2

abc ab

=2

c

，（当且仅当a=b时取等号）

1

a

+

1

c

≥2

1 ac

=2

abc ac

=2

b

，（当且仅当a=c时取等号）

1

b

+

1

c

≥2

1 bc

=2

abc bc

=2

a

，（当且仅当b=c时取等号），
以上三个不等式相加得，2（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥2（

a

+

b

+

c

），
则

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

a

+

b

+

c

，（当且仅当a=b=c时取等号）．

点评：本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式，属于中档题．