Question

设函数f（x）=cos（2x-

π

3

）-2

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并指出由f（x）的图象如何变换得到函数y=cos2x的图象；
（Ⅱ）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A-

π

3

）=

1

2

，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+

π

3

），根据周期公式即可求f（x）的最小正周期T．根据正弦函数的平移规律可得y=cos（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

个单位长度得到函数y=cos2x．
（II）由已知及（I）可得cos（2A-

π

3

）=

1

2

，由A∈（0，π），可得A，由b+c=2及余弦定理，得a²=4-3bc，又bc≤（

b+c

2

）²=1即可求得a的最小值．

解答： 解：（I）∵f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

3

sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

）（3分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，…（4分）
由y=cos（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

个单位长度得到函数y=cos2x；…（6分）
（II）由f（A-

π

3

）=cos（2A-

π

3

）=

1

2

，A∈（0，π），可得A=

π

3

．…（8分）
由b+c=2及余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=4-3bc，…（10分）
又bc≤（

b+c

2

）²=1仅当b=c=1时bc取最大值，此时a取最小值1．…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．