Question

19．已知函数f（x）=x³-3x²-9x+1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若f（x）-2a+1≥0对?x∈[-2，4]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出端点值和极值，从而求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9，
令f′（x）＞0，解得：x＜-1或x＞3，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），单调减区间为（-1，3）；
（2）由（1）知f（x）在[-2，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
又f（-2）=-1，f（3）=-26，f（3）＜f（-2），
∴f（x）_min=-26，
∵f（x）-2a+1≥0对?x∈[-2，4]恒成立，
∴f（x）_min≥2a-1，即2a-1≤-26，
∴a≤-$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．